[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Kątem nachylenia prostych l1 i l2 nazywamy kąt, nie większy od kąta prostego,
o ramionach równoległych do tych prostych.
Dowodzi się, że jeżeli proste zadane są równaniami:
l1 : A1x + B1y + C1 =0,
l2 : A2x + B2y + C2 =0,
154
BG AGH
7.3. Geometria analityczna na płaszczyznie
to:
1) proste l1 i l2 są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy A1A2 + B1B2 =0,
2) proste l1 i l2 są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy A1B2 - A2B1 =0,
3) mają dokładnie jeden punkt przecięcia wtedy i tylko wtedy, gdy A1B2 - A2B1 =0,
4) cosinus kąta nachylenia tych prostych wyraża się wzorem
|A1A2 + B1B2|
cos ± = (7.34)
2 2
A2 + B1 A2 + B2
1 2
Przykład
Zbadać, czy punkty A(2, 4), B(5, 6) i C(1, 2) leżą na jednej prostej.
Najpierw napiszemy równanie prostej przechodzącej przez punkty A i B, a na-
stępnie sprawdzimy, czy punkt C leży na tej prostej. Prosta przechodząca przez punk-
ty A i B, na podstawie wzoru (7.23), ma następujące równanie
6 - 4
y - 4 = (x - 2),
5 - 2
a po przekształceniach
2 8
y = x + .
3 3
2 8 2 8
Widać, że punkt C(1, 2) nie leży na prostej y = /3 x + /3 , gdyż 2 = /3 + /3 . Zatem
punkty A(2, 4), B(5, 6), C(1, 2) nie leżą na jednej prostej.
Przykład
Wyznaczyć kąt nachylenia prostych
3x + y - 3 =0 i 6x +12y - 11 =0.
Skorzystamy z zależności (7.34) i otrzymamy
|18 + 12| 1
"
cos ± = " " = .
9+1 36 + 144 2
1
StÄ…d rozważane proste tworzÄ… kÄ…t ostry, ± = /4 À.
Przykład
Obliczyć odległość między prostymi
3x +4y +25 =0 i 6x - 8y +45=0.
Z warunku równoległości prostych (A1B2 - A2B1 = 0), w tym przykładzie
-24 - (-24) = 0, wynika, że rozważane proste są równoległe.
Odległość między prostymi równoległymi, to odległość dowolnego punktu na
jednej prostej od drugiej prostej.
155
BG AGH
7. Geometria analityczna
Aatwo zauważyć, że punkt M(-7, 1) leży na prostej o równaniu 3x-4y+25 = 0.
Odległość punktu M od prostej 6x - 8y + 45 = 0, na podstawie (7.33), obliczymy
z zależności
|6(-7) - 8(1) + 45| 1
d = " = .
2
36+64
1
Zatem odległość między prostymi 3x - 4y +25 =0 i 6x - 8y +45=0, d = /2 .
Przykład
Przez punkt przecięcia prostych 4x+7y - 15 = 0 i 9x- 14y - 4=0poprowadzić
prostą prostopadłą do prostej 9x - 14y - 4 =0.
Wyznaczymy najpierw punkt przecięcia się pierwszych dwóch prostych. Współ-
rzędne punktu przecięcia się tych prostych będą rozwiązaniem układu równań
4x + 7y - 15 = 0
.
9x - 14y - 4=0
Aatwo obliczyć, że uporządkowana para x0, y0 =(2, 1) spełnia ten układ równań.
Stąd wniosek, że proste 4x +7y - 15 = 0 i 9x - 14y - 4 = 0 przecinają się w punkcie
o współrzędnych (2, 1).
Wektor A1, B1 = (9, -14) jest prostopadły do prostej 9x - 14y - 4 = 0.
Natomiast wektor (14, 9) jest prostopadły do wektora A1, B1 = (9, -14), gdyż
(9, -14) · (14, 9) = 0 warunek prostopadÅ‚oÅ›ci wektorów.
Zatem wektor (14, 9) jest prostopadły do szukanej prostej. Wiadomo, że prosta
przechodząca przez punkt x0, y0 i prostopadła do wektora (A, B) ma następujące
równanie w postaci ogólnej
A x - x0 + B y - y0 =0.
W naszym przypadku mamy A = 14, B =9, x0 =2, y0 = 1, czyli szukana prosta ma
równanie
14(x - 2) + 9(y - 1) = 0,
a po przekształceniach
14x +9y - 37 = 0.
Zadania
1. Wyznaczyć równanie prostej, która przechodzi przez punkty A i B:
a) A(1, 0), B(-7, 1),
b) A(0, -1), B(7, -1),
c) A(3, 5), B(2, 1).
156
BG AGH
7.3. Geometria analityczna na płaszczyznie
2. Napisać równania parametryczne prostej 3x +2y - 3 =0.
3. Napisać równanie wektorowe prostej przechodzącej przez punkty A(1, 0),
B(-6, 1).
4. Napisać równania parametryczne prostej przechodzącej przez punkt A(2, -1)
i równoległej do prostej 2x - y +1=0.
5. Znalezć wektor równoległy do prostej 3x - 2y +6=0.
6. Znalezć wektor prostopadły do prostej 3y +2=0.
7. Obliczyć pole trójkąta ograniczonego osiami współrzędnych układu Oxy i pros tą
4x - 3y +5=0.
8. Obliczyć odległość punktu P (1, 3) od środka odcinka AB, gdzie A(4, 7),
B(-2, -3).
9. Napisać równanie prostej przechodzącej przez punkt O(0, 0) oraz:
a) równoległej do prostej y = x +1,
1
b) prostopadłej do prostej y = /3 x + 10,
1
c) tworzÄ…cej kÄ…t /4 À z pros tÄ… y =2x +8.
10. Sprawdzić, czy punkty A(2, 4), B(6, 8) i C(11, 13) leżą na jednej prostej.
11. Wyznaczyć odległość początku układu współrzędnych Oxy od prostej
3x +5y - 7 =0.
12. Obliczyć odległość punktu P (-3, 2) od prostej 4x - 7y +10=0.
13. Sprawdzić, czy punkty (-4, 1), (0, 0) leżą po tej samej stronie prostej
3x - 2y +5=0.
14. Znalezć odległość między prostymi: 12x - 5y - 78 = 0, 12x - 5y - 52 = 0.
15. Wyznaczyć kąt między prostymi: y =4x +5, y = -2x + 10.
16. Na płaszczyznie Oxy dany jest trójkąt ABC o wierzchołkach: A(1, 2), B(0, 5)
i C(-2, 2). Wyznaczyć punkt przecięcia się środkowych tego trójkąta.
17. Punkty A, B, C i D są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku ABCD. Ob-
liczyć współrzędne wierzchołka D x0, y0 jeżeli wiadomo, że A(4, 3), B(1, 1)
i C(6, -5).
18. Wyznaczyć współrzędne x0, y0 środka ciężkości trójkąta o wierzchołkach: [ Pobierz całość w formacie PDF ]
zanotowane.pl doc.pisz.pl pdf.pisz.pl aikidobyd.xlx.pl
Kątem nachylenia prostych l1 i l2 nazywamy kąt, nie większy od kąta prostego,
o ramionach równoległych do tych prostych.
Dowodzi się, że jeżeli proste zadane są równaniami:
l1 : A1x + B1y + C1 =0,
l2 : A2x + B2y + C2 =0,
154
BG AGH
7.3. Geometria analityczna na płaszczyznie
to:
1) proste l1 i l2 są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy A1A2 + B1B2 =0,
2) proste l1 i l2 są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy A1B2 - A2B1 =0,
3) mają dokładnie jeden punkt przecięcia wtedy i tylko wtedy, gdy A1B2 - A2B1 =0,
4) cosinus kąta nachylenia tych prostych wyraża się wzorem
|A1A2 + B1B2|
cos ± = (7.34)
2 2
A2 + B1 A2 + B2
1 2
Przykład
Zbadać, czy punkty A(2, 4), B(5, 6) i C(1, 2) leżą na jednej prostej.
Najpierw napiszemy równanie prostej przechodzącej przez punkty A i B, a na-
stępnie sprawdzimy, czy punkt C leży na tej prostej. Prosta przechodząca przez punk-
ty A i B, na podstawie wzoru (7.23), ma następujące równanie
6 - 4
y - 4 = (x - 2),
5 - 2
a po przekształceniach
2 8
y = x + .
3 3
2 8 2 8
Widać, że punkt C(1, 2) nie leży na prostej y = /3 x + /3 , gdyż 2 = /3 + /3 . Zatem
punkty A(2, 4), B(5, 6), C(1, 2) nie leżą na jednej prostej.
Przykład
Wyznaczyć kąt nachylenia prostych
3x + y - 3 =0 i 6x +12y - 11 =0.
Skorzystamy z zależności (7.34) i otrzymamy
|18 + 12| 1
"
cos ± = " " = .
9+1 36 + 144 2
1
StÄ…d rozważane proste tworzÄ… kÄ…t ostry, ± = /4 À.
Przykład
Obliczyć odległość między prostymi
3x +4y +25 =0 i 6x - 8y +45=0.
Z warunku równoległości prostych (A1B2 - A2B1 = 0), w tym przykładzie
-24 - (-24) = 0, wynika, że rozważane proste są równoległe.
Odległość między prostymi równoległymi, to odległość dowolnego punktu na
jednej prostej od drugiej prostej.
155
BG AGH
7. Geometria analityczna
Aatwo zauważyć, że punkt M(-7, 1) leży na prostej o równaniu 3x-4y+25 = 0.
Odległość punktu M od prostej 6x - 8y + 45 = 0, na podstawie (7.33), obliczymy
z zależności
|6(-7) - 8(1) + 45| 1
d = " = .
2
36+64
1
Zatem odległość między prostymi 3x - 4y +25 =0 i 6x - 8y +45=0, d = /2 .
Przykład
Przez punkt przecięcia prostych 4x+7y - 15 = 0 i 9x- 14y - 4=0poprowadzić
prostą prostopadłą do prostej 9x - 14y - 4 =0.
Wyznaczymy najpierw punkt przecięcia się pierwszych dwóch prostych. Współ-
rzędne punktu przecięcia się tych prostych będą rozwiązaniem układu równań
4x + 7y - 15 = 0
.
9x - 14y - 4=0
Aatwo obliczyć, że uporządkowana para x0, y0 =(2, 1) spełnia ten układ równań.
Stąd wniosek, że proste 4x +7y - 15 = 0 i 9x - 14y - 4 = 0 przecinają się w punkcie
o współrzędnych (2, 1).
Wektor A1, B1 = (9, -14) jest prostopadły do prostej 9x - 14y - 4 = 0.
Natomiast wektor (14, 9) jest prostopadły do wektora A1, B1 = (9, -14), gdyż
(9, -14) · (14, 9) = 0 warunek prostopadÅ‚oÅ›ci wektorów.
Zatem wektor (14, 9) jest prostopadły do szukanej prostej. Wiadomo, że prosta
przechodząca przez punkt x0, y0 i prostopadła do wektora (A, B) ma następujące
równanie w postaci ogólnej
A x - x0 + B y - y0 =0.
W naszym przypadku mamy A = 14, B =9, x0 =2, y0 = 1, czyli szukana prosta ma
równanie
14(x - 2) + 9(y - 1) = 0,
a po przekształceniach
14x +9y - 37 = 0.
Zadania
1. Wyznaczyć równanie prostej, która przechodzi przez punkty A i B:
a) A(1, 0), B(-7, 1),
b) A(0, -1), B(7, -1),
c) A(3, 5), B(2, 1).
156
BG AGH
7.3. Geometria analityczna na płaszczyznie
2. Napisać równania parametryczne prostej 3x +2y - 3 =0.
3. Napisać równanie wektorowe prostej przechodzącej przez punkty A(1, 0),
B(-6, 1).
4. Napisać równania parametryczne prostej przechodzącej przez punkt A(2, -1)
i równoległej do prostej 2x - y +1=0.
5. Znalezć wektor równoległy do prostej 3x - 2y +6=0.
6. Znalezć wektor prostopadły do prostej 3y +2=0.
7. Obliczyć pole trójkąta ograniczonego osiami współrzędnych układu Oxy i pros tą
4x - 3y +5=0.
8. Obliczyć odległość punktu P (1, 3) od środka odcinka AB, gdzie A(4, 7),
B(-2, -3).
9. Napisać równanie prostej przechodzącej przez punkt O(0, 0) oraz:
a) równoległej do prostej y = x +1,
1
b) prostopadłej do prostej y = /3 x + 10,
1
c) tworzÄ…cej kÄ…t /4 À z pros tÄ… y =2x +8.
10. Sprawdzić, czy punkty A(2, 4), B(6, 8) i C(11, 13) leżą na jednej prostej.
11. Wyznaczyć odległość początku układu współrzędnych Oxy od prostej
3x +5y - 7 =0.
12. Obliczyć odległość punktu P (-3, 2) od prostej 4x - 7y +10=0.
13. Sprawdzić, czy punkty (-4, 1), (0, 0) leżą po tej samej stronie prostej
3x - 2y +5=0.
14. Znalezć odległość między prostymi: 12x - 5y - 78 = 0, 12x - 5y - 52 = 0.
15. Wyznaczyć kąt między prostymi: y =4x +5, y = -2x + 10.
16. Na płaszczyznie Oxy dany jest trójkąt ABC o wierzchołkach: A(1, 2), B(0, 5)
i C(-2, 2). Wyznaczyć punkt przecięcia się środkowych tego trójkąta.
17. Punkty A, B, C i D są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku ABCD. Ob-
liczyć współrzędne wierzchołka D x0, y0 jeżeli wiadomo, że A(4, 3), B(1, 1)
i C(6, -5).
18. Wyznaczyć współrzędne x0, y0 środka ciężkości trójkąta o wierzchołkach: [ Pobierz całość w formacie PDF ]